La fecha de caducidad del visado es el último día en que puede utilizar el visado para entrar en los EE.UU. El visado no tiene nada que ver con su capacidad para permanecer en los EE.UU. Eso se determina por su estatus, que se da al entrar. El hecho de no tener una visa válida no afecta tu capacidad de permanecer en los EE.UU., siempre y cuando tengas un estatus válido; y por el contrario, tener una visa válida no significa que puedas permanecer en los EE.UU., si estás fuera de estatus.
El estatus y la duración de la estancia se determinan por la I-94 que se te da al entrar (bueno, ya no se te da una de papel; puedes imprimirla en línea). Los estudiantes F-1 en programas de varios años siempre son admitidos para “DS” (Duración del Estatus) en su I-94, lo que significa que no tienen una duración de estancia fija. Más bien, permanecen en el estatus F-1 mientras tengan un I-20 válido y no violen las condiciones del estatus F-1. (De manera similar para el estatus J-1, permanecen en el estatus J-1 mientras tengan un DS-2019 válido.)
Sólo necesitarías una visa si sales de los EE.UU. y necesitas volver a entrar en los EE.UU. de nuevo. Es común que los estudiantes internacionales de largo plazo con estatus válido tengan su visa vencida por años porque no han tenido que salir de los EE.UU. durante ese tiempo.
Cuando se viaja dentro de los EE.UU., casi nunca debes encontrarte con alguien que te pregunte sobre tu estatus migratorio, a menos que vayas a menos de 100 millas de la frontera mexicana donde hay puestos de control de la Patrulla Fronteriza. La policía local (excepto quizás en Arizona) generalmente no se ocupa de asuntos de inmigración porque es un asunto federal. No está dentro de la jurisdicción de la TSA (la agencia con la que más probablemente tratarás cuando viajes por avión) comprobar el estado de la inmigración, aunque ha habido informes ocasionales de malos agentes que gritan a la gente por los visados caducados (sin entender que el visado no tiene nada que ver con el estado). (Además no tienen el entrenamiento para comprobar incluso si lo quisieran; por ejemplo, alguien fuera de estatus sigue siendo legal si tiene pendiente una solicitud de Ajuste de Estatus, Cambio de Estatus o Extensión de Estatus, o si tiene pendiente un asilo o una Acción Diferida, etc. Las complejidades de la ley de inmigración son demasiado complicadas para que una agencia de no-inmigración se ocupe de ellas)
Su I-94 y I-20 es prueba suficiente de que está en un estatus válido, si alguna vez necesita probarlo. Debería llevarla consigo.